构建乘积数组

## 1 题目

给定一个数组 A[0,1,…,n-1]，请构建一个数组 B[0,1,…,n-1]，其中 B[i] 的值是数组 A 中除了下标 i 以外的元素的积, 即 B[i]=A[0]×A[1]×…×A[i-1]×A[i+1]×…×A[n-1]。不能使用除法。

**示例:**

```txt
输入: [1,2,3,4,5]
输出: [120,60,40,30,24]
```

**提示：**

* 所有元素乘积之和不会溢出 32 位整数
* a.length <= 100000

## 2 问题分析

1. 本题的难点在于**不能使用除法**，**即需要只用乘法生成数组 $B$**，根据题目对 $B[0]$ 的定义，可列表格，如下图所示：

![Picture1.png](/media/202202/2022-02-12_2019200.9463664101953027.png)
2. **根据表格的主对角线**，**可将表格分为上三角和下三角两部分**，**分别迭代计算下三角和上三角两部分的乘积**，**即可不使用除法就获得结果**。
3. 具体的算法流程如下：

1. **初始化数组 $B$**，**其中 $B[0] = 1$**，**辅助变量 $tmp = 1$**。
   2. **计算 $B[i]$ 的下三角各元素的乘积**，**直接乘入 $B[i]$**。
   3. **计算 $B[i]$ 的上三角各元素的乘积**，**记为 $tmp$**，**并乘入 $B[i]$**。
   4. **返回 $B$**。
4. 具体实例如下：

![](/media/202202/2022-02-12_2025230.5272470853708524.png)

![](/media/202202/2022-02-12_2025320.10326173710311681.png)

![](/media/202202/2022-02-12_2025410.18310975695976917.png)

![](/media/202202/2022-02-12_2025550.7393083412792657.png)

![](/media/202202/2022-02-12_2026050.4833823810572384.png)

![](/media/202202/2022-02-12_2026130.48557956469393615.png)

![](/media/202202/2022-02-12_2026210.7118277981678661.png)

![](/media/202202/2022-02-12_2026280.31684487445222287.png)

![](/media/202202/2022-02-12_2026380.9920881939848459.png)

![](/media/202202/2022-02-12_2026450.7798305326990969.png)

## 3 参考代码

```java
/**
 * 剑指 Offer 66. 构建乘积数组
 * @param a 原始数组
 * @return  根据原始数组构建的乘积数组
 */
public int[] constructArr(int[] a) {
    int len = a.length, tmp = 1;
    int[] res = new int[len];

Arrays.fill(res, 1);

//  计算下三角各元素的乘积
    for (int i = 1; i < len; i++) {
        res[i] = res[i - 1] * a[i - 1];
    }

//  计算上三角各元素的乘积
    for (int i = len - 2; i >= 0; i--) {
        tmp *= a[i + 1];
        res[i] *= tmp;
    }

return res;
}
```

## 参考文献

1. [剑指 Offer 66. 构建乘积数组](https://leetcode-cn.com/problems/gou-jian-cheng-ji-shu-zu-lcof)。
2. [ 剑指 Offer 66. 构建乘积数组（表格分区，清晰图解）](https://leetcode-cn.com/problems/gou-jian-cheng-ji-shu-zu-lcof/solution/mian-shi-ti-66-gou-jian-cheng-ji-shu-zu-biao-ge-fe)。