编辑距离

## 1 题目

给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

* 插入一个字符
* 删除一个字符
* 替换一个字符

**示例 1：**

```
输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')
```

**示例 2：**

```
输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')
```

**提示：**

* 0 <= word1.length, word2.length <= 500
* word1 和 word2 由小写英文字母组成

## 2 解题思路

### 2.1 递归

#### 2.1.1 问题解析

**解决两个字符串的动态规划问题，一般都是用两个指针 `i、j` 分别指向两个字符串的最后，然后一步一步往前走，缩小问题的规模。**

设两个字符串分别为 `rad` 和 `apple`，为了把 `s1` 变成 `s2`，算法会这样进行：

![](/media/202104/2021-04-06_204148.png)

根据上面的 GIF，可以发现操作不止有三个，其实还有第四个操作，就是什么都不要做（skip），比如这个情况：

![](/media/202104/2021-04-06_204612.png)

因为这两个字符本来就相同，为了使编辑距离最小，显然不应该对他们有任何操作，直接往前移动 `i、j` 即可。

还有一个很容易处理的情况，就是 `j` 走完 `s2` 时，如果 `i` 还没走完 `s1`，那么只能用删除操作把 `s1` 缩短为 `s2`，比如这个情况：

![](/media/202104/2021-04-06_204858.png)

类似的，如果 `i` 走完 `s1` 时 `j` 还没走完 `s2`，那就只能用插入操作把 `s2` 剩下的字符全部插入 `s1`，这两种情况就是算法的**base case**。

#### 2.1.2 代码解析

先梳理下之前的思路：

**base case**是 `i` 走完 `s1` 或 `j` 走完 `s2`，可以直接返回另一个字符串剩下的长度。

对于每队字符 `s1[i]` 和 `s2[j]`，可以有四种操作：

```c++
if s1[i] == s2[j]:
    啥都别做（skip）
    i, j 同时向前移动
else:
    三选一：
        插入（insert）
        删除（delete）
        替换（replace）
```

对于这三个操作，需要全试一遍，哪个操作最后得到的编辑距离小，就选谁，具体代码如下：

```c++
def minDistance(s1, s2) -> int:

def dp(i, j):
        # base case
        if i == -1: return j + 1
        if j == -1: return i + 1

if s1[i] == s2[j]:
            return dp(i - 1, j - 1)  # 啥都不做
        else:
            return min(
                dp(i, j - 1) + 1,    # 插入
                dp(i - 1, j) + 1,    # 删除
                dp(i - 1, j - 1) + 1 # 替换
            )

# i，j 初始化指向最后一个索引
    return dp(len(s1) - 1, len(s2) - 1)
```

下面对这段递归代码进行以下解释。

1. **dp[i][j]表示将 `s1[i]` 之前的字符修改为 `s2[j]` 之前的字符的最小编辑距离。**

```c++
def dp(i, j) -> int
```

2. **如果 `s1[i]==s2[j]`：**
   1. **说明这两个字符本来就相等，不需要进行任何操作。**
   2. **此时 `s1[0..i]` 和 `s2[0..j]` 的最小编辑距离等于 `s1[0..i-1]` 和 `s2[0..j-1]` 的最小编辑距离。**
   3. **`dp(i,j)` 等于 `dp(i-1,j-1)`。**

```c++
if s1[i] == s2[j]:
    return dp(i - 1, j - 1)
```

3. **如果 `s1[i]!=s2[j]`，此时就需要对三个操作递归了：**
   1. **插入：** **直接在 `s1[i]` 插入一个和 `s2[j]` 相同的字符，那么 `s2[j]` 就被匹配了，前移 `j`，继续跟 `i` 对比，同时操作数加 1。**

```c++
      dp(i, j - 1) + 1,    # 插入
      ```

![](/media/202104/2021-04-06_210959.png)
   2. **删除：** **直接把 `s[i]` 这个字符删掉，前移 `i`，继续跟 `j` 对比，同时操作数加 1。**

```c++
      dp(i - 1, j) + 1,    # 删除
      ```

![](https://gblobscdn.gitbook.com/assets%2F-MWvhB2heCSJoT6IpxDY%2Fsync%2F36559b37dd118d77713ebc57ecfdcf11a2de599a.gif?alt=media)
   3. **替换：直接把 `s1[i]` 替换成 `s2[j]`，这样他俩就匹配了，然后前移 `i、j`，并将其继续对比，同时操作数加 1。**

```c++
      dp(i - 1, j - 1) + 1 # 替换
      ```

![](https://gblobscdn.gitbook.com/assets%2F-MWvhB2heCSJoT6IpxDY%2Fsync%2Fb2153166d681c0557bb40d2276f9b5707ba9b252.gif?alt=media)

#### 2.1.3 参考代码

```java
/**
 * 返回三个数之间的最小值
 * @param a 第一个参数
 * @param b 第二个参数
 * @param c 第三个参数
 * @return  三个数之间的最小值
 */
int min(int a, int b, int c) {
    return Math.min(a, Math.min(b, c));
}

/**
 * dp 函数（版本 1）
 * @param s1    第一个字符串
 * @param s2    第二个字符串
 * @param i s1 的最后一个字符下标
 * @param j s2 的最后一个字符下标
 * @return  s1 前 i 个字符替换成 s2 前 j 个字符所需要的最小编辑次数
 */
int dpV1(String s1, String s2, int i, int j) {
    //  base case
    //  1. 如果第一个单词遍历到最左边，则把 s2 剩余测字符全插入到 s1 前面
    if (i == -1) {return j + 1;}
    //  2. 如果第二个单词遍历到最左边，则把 s1 剩余字符都删除
    if (j == -1) {return i + 1;}

//  如果两个字符串当前字符相同，则啥也不做
    if (s1.charAt(i) == s2.charAt(j)) {return dpV1(s1, s2, i - 1, j - 1);}
    else {
        //  否则，一次尝试插入、删除、替换三种操作，并返回编辑距离最小的距离
        return min(
                //  插入
                dpV1(s1, s2, i, j - 1) + 1,
                //  删除
                dpV1(s1, s2, i - 1, j) + 1,
                dpV1(s1, s2, i - 1, j - 1) + 1
        );
    }
}

/**
 * 72. 编辑距离（版本 1：动态规划）
 * 给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。
 * 你可以对一个单词进行如下三种操作：
 * 插入一个字符
 * 删除一个字符
 * 替换一个字符
 * @param word1 第一个单词
 * @param word2 第二个单词
 * @return  最少操作数
 */
public int minDistanceV1(String word1, String word2) {
    return dpV1(word1, word2, word1.length() - 1, word2.length() - 1);
}
```

### 2.2 动态规划优化

动态规划的优化方法主要有两种，一种是**备忘录**，另一种是**DP Table**。

#### 2.2.1 备忘录优化

##### 2.2.1.1 问题解析

备忘录优化主要是把上面递归方法中的 `dp(i,j)` 的数据保存在**备忘录**（实质是一个二维数组）中，每次递归时先判断 `dp(i,j)` 的数据有没有在备忘录中，如果有的话直接返回，没有的话再进行计算即可。

##### 2.2.1.2 参考代码

```java
/**
 * 返回三个数之间的最小值
 * @param a 第一个参数
 * @param b 第二个参数
 * @param c 第三个参数
 * @return  三个数之间的最小值
 */
int min(int a, int b, int c) {
    return Math.min(a, Math.min(b, c));
}

/**
 * dp 函数（版本 2：备忘录优化）
 * @param s1    第一个字符串
 * @param s2    第二个字符串
 * @param i s1 的最后一个字符下标
 * @param j s2 的最后一个字符下标
 * @return  s1 前 i 个字符替换成 s2 前 j 个字符所需要的最小编辑次数
 */
int dpV2(String s1, String s2, int i, int j, int[][] memo) {
    //  base case
    //  1. 如果第一个单词遍历到最左边，则把 s2 剩余测字符全插入到 s1 前面
    if (i == -1) {return j + 1;}
    //  2. 如果第二个单词遍历到最左边，则把 s1 剩余字符都删除
    if (j == -1) {return i + 1;}

if (memo[i][j] != -1) {return memo[i][j];}

//  如果两个字符串当前字符相同，则啥也不做
    if (s1.charAt(i) == s2.charAt(j)) {memo[i][j] = dpV2(s1, s2, i - 1, j - 1, memo);}
    else {
        //  否则，一次尝试插入、删除、替换三种操作，并返回编辑距离最小的距离
        memo[i][j] = min(
                //  插入
                dpV2(s1, s2, i, j - 1, memo) + 1,
                //  删除
                dpV2(s1, s2, i - 1, j, memo) + 1,
                dpV2(s1, s2, i - 1, j - 1, memo) + 1
        );
    }

//  返回结果
    return memo[i][j];
}

/**
 * 72. 编辑距离（版本 2：动态规划（备忘录优化））
 * 给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。
 * 你可以对一个单词进行如下三种操作：
 * 插入一个字符
 * 删除一个字符
 * 替换一个字符
 * @param word1 第一个单词
 * @param word2 第二个单词
 * @return  最少操作数
 */
public int minDistanceV2(String word1, String word2) {
    //  定义备忘录，并将其里面的每个元素初始化为 -1
    int[][] memo = new int[word1.length()][word2.length()];
    for (int i = 0; i < memo.length; i++) {
        Arrays.fill(memo[i], -1);
    }
    //  递归获取最小编辑距离
    return dpV2(word1, word2, word1.length() - 1, word2.length() - 1, memo);
}
```

#### 2.2.2 DP Table 优化

##### 2.2.2.1 问题解析

1. **定义 `dp[i][j]`：**

1. `dp[i][j]` 代表`word1` 中前`i` 个字符，变换到`word2` 中前`j` 个字符，最短需要操作的次数。
   2. 需要考虑`word1` 或`word2` 一个字母都没有，即**全增加**或**全删除**的情况，所以预留`dp[0][j]` 和`dp[i][0]`。
2. **状态转移：**

1. **增：**`dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1`
   2. **删：**`dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1`
   3. **改：**`dp[i][j] = dp[i-1][j-1]`
   4. 按顺序计算，当计算`dp[i][j]` 时，`dp[i][j-1]、dp[i-1][j]、dp[i-1][j-1]` 均已经确定。
   5. 配合**增删改**这三种操作，需要对应的`dp` 把操作数加 1，取三种的最小。
   6. 如果刚好这两个字母相同，即`word1[i-1]=word2[j-1]`，那么可以直接参考`dp[i-1][j-1]`，操作不用加 1。

具体的图解如下：

* **绿色：** 增。
* **红色：** 删。
* **黄色：** 改。

![](/media/202104/2021-04-06_220218.png)

![](/media/202104/2021-04-06_220327.png)

![](/media/202104/2021-04-06_220334.png)

![](/media/202104/2021-04-06_220341.png)

![](/media/202104/2021-04-06_220348.png)

![](/media/202104/2021-04-06_220356.png)

##### 2.2.2.2 参考代码

```java
/**
 * 返回三个数之间的最小值
 * @param a 第一个参数
 * @param b 第二个参数
 * @param c 第三个参数
 * @return  三个数之间的最小值
 */
int min(int a, int b, int c) {
    return Math.min(a, Math.min(b, c));
}

/**
 * 72. 编辑距离（版本 3：动态规划（DP Table 优化））
 * 给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。
 * 你可以对一个单词进行如下三种操作：
 * 插入一个字符
 * 删除一个字符
 * 替换一个字符
 * @param word1 第一个单词
 * @param word2 第二个单词
 * @return  最少操作数
 */
public int minDistanceV3(String word1, String word2) {
    int m = word1.length(), n = word2.length();
    int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
  
    //   base case
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }

//  自底向上求解
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];}
            else {
                dp[i][j] = min(
                        dp[i][j - 1] + 1,
                        dp[i - 1][j] + 1,
                        dp[i - 1][j - 1] + 1
                );
            }
        }
    }

//  储存着整个 word1 和 word2 的最小编辑距离
    return dp[m][n];
}
```

## 3 参考文献

1. [72. 编辑距离](https://leetcode-cn.com/problems/edit-distance)。
2. [经典动态规划：编辑距离](https://labuladong.gitbook.io/algo/dong-tai-gui-hua-xi-lie/zi-xu-lie-lei-xing-wen-ti/bian-ji-ju-li)。
3. [【编辑距离】入门动态规划，你定义的 dp 里到底存了啥](https://leetcode-cn.com/problems/edit-distance/solution/edit-distance-by-ikaruga)。