二进制中1的个数

# 1 题目

编写一个函数，输入是一个无符号整数（以二进制串的形式），返回其二进制表达式中数字位数为 '1' 的个数（也被称为 汉明重量).）。

**提示：**

* 请注意，在某些语言（如 Java）中，没有无符号整数类型。在这种情况下，输入和输出都将被指定为有符号整数类型，并且不应影响您的实现，因为无论整数是有符号的还是无符号的，其内部的二进制表示形式都是相同的。
* 在 Java 中，编译器使用 二进制补码 记法来表示有符号整数。因此，在上面的 示例 3 中，输入表示有符号整数 -3。

**示例 1：**

```txt
输入：n = 11 (控制台输入 00000000000000000000000000001011)
输出：3
解释：输入的二进制串 00000000000000000000000000001011 中，共有三位为 '1'。
```

**示例 2：**

```txt
输入：n = 128 (控制台输入 00000000000000000000000010000000)
输出：1
解释：输入的二进制串 00000000000000000000000010000000 中，共有一位为 '1'。
```

**示例 3：**

```txt
输入：n = 4294967293 (控制台输入 11111111111111111111111111111101，部分语言中 n = -3）
输出：31
解释：输入的二进制串 11111111111111111111111111111101 中，共有 31 位为 '1'。
```

**提示：**

* 输入必须是长度为 32 的 二进制串 。

# 2 解题思路

> 对于数学相关的题目，要学会使用**位运算**来解决。

## 2.1 逐位判断

### 2.1.1 问题分析

1. **根据与运算定义**，**设二进制数字 $n$**，则有：
   1. **若 $n \& 1 = 0$**，**则 $n$ 二进制最右一位为 0**。
   2. **若 $n \& 1 = 1$**，**则 $n$ 二进制最右一位为 1**。
2. **根据以上特点**，**考虑以下循环判断**：
   1. **判断 $n$ 最右一位是否为 1**，**根据结果计数**。
   2. **将 $n$ 右移一位**（本题要求把数字 $n$ 看作无符号数，因此使用**无符号右移**操作）。

### 2.1.2 参考代码

```java
/**
 * 剑指 Offer 15. 二进制中 1 的个数（版本 1：逐位判断）
 * @param n
 * @return
 */
public int hammingWeightV1(int n) {
    int res = 0;
    while (n != 0) {
        res += n & 1;
        n >>>= 1;
    }
    return res;
}
```

## 2.2 巧用 $n \& (n - 1)$

### 2.2.1 问题分析

1. 如果一个整数不等于 0，那么该整数的二进制表示中至少有一位是 1。
2. 先假设这个数的**最右边一位是 1**，那么**减去 1 时**，**最后一位变成 0**，而**其他所有位都保持不变**，也就是**最后一位相当于做了取反操作**，**由 1 变成了 0**。
3. 接下来假设**最后一位不是 1 而是 0**的情况，如果该整数的二进制表示中**最右边的 1 位于第 $m$ 位**，那么**减去 1 时**，**第 $m$ 位由 1 变成 0**，而**第 $m$ 位之后的所有 0 都变成了 1**，整数中**第 $m$ 位之前的所有位都保持不变**，例如一个二进制数 1100，他的第二位是从右边数起的第一个 1，减去 1 后，第二位变成 0，他后面的两位 0 变成 1，而前面的 1 保持不变，因此得到的结果是 1011。
4. 在前面两种情况中，我们发现**把一个整数减去 1**，**都是把最右边的 1 变成 0**，**如果他的右边还有 0**，**则所有的 0 都变成 1**，**而他左边的所有位都保持不变**，接下来我们**把一个整数和他减去 1 的结果做与运算**，**相当于把他最右边的 1 变成 0**，还是以前面的 1100 为例，他减去 1 的结果是 1011，我们再把 1100 和 1011 做位与运算，得到的结果是 1000，我们把 1100 最右边的 1 变成了 0，结果刚好就是 1000。
5. 我们把上面的分析总结起来就是，**把一个整数减去 1**，**再和原整数做与运算**，**会把该整数最右边的 1 变成 0**，**一个整数的二进制表示中有多少个 1**，**就可以进行多少次这样的操作**。

### 2.2.2 参考代码

```java
/**
 * 剑指 Offer 15. 二进制中 1 的个数（版本 2：巧用 n & (n - 1)）
 * @param n
 * @return
 */
public int hammingWeightV2(int n) {
    int res = 0;
    while (n != 0) {
        res++;
        n = n & (n - 1);
    }
    return res;
}
```

# 参考文献

1. [剑指 Offer 15. 二进制中 1 的个数](https://leetcode-cn.com/problems/er-jin-zhi-zhong-1de-ge-shu-lcof)。
2. [面试题 15. 二进制中 1 的个数（位运算，清晰图解）](https://leetcode-cn.com/problems/er-jin-zhi-zhong-1de-ge-shu-lcof/solution/mian-shi-ti-15-er-jin-zhi-zhong-1de-ge-shu-wei-yun)。
3. 《剑指 Offer（第 2 版）》。